Traitement des problèmes relativistes de spin ½ par l’approche des intégrales de chemins

Abstract

Dans le deuxième chapitre de cette thèse, le propagateur d'un oscillateur Dirac bidimensionnel en présence d'un champ électrique uniforme est dérivé en utilisant la technique d'intégrales de chemin. Le fait que l'approche nommée globale soit utilisée dans ce travail redirige au préalable notre recherche du propagateur de l'équation de Dirac vers celle du propagateur de sa forme quadratique. Les mouvements internes relatifs au spin sont représentés par deux oscillateurs fermioniques, qui sont décrits par des variables de Grassmann, selon le modèle fermionique de Schwinger. Une fois que l'intégration sur les variables anticommutatives (variables grassmanniennes) est terminée, le problème devient celui de trouver un propagateur non relativiste avec uniquement des variables bosoniques. Le spectre d'énergie de l'électron et les spineurs propres correspondants sont également obtenus dans ce chapitre. Le même problème précédent était l’objet du troisième chapitre où le propagateur est dérivé cette fois ci en utilisant la technique des intégrales de chemins super-symétrique et le problème est résolu exactement. Le spectre d'énergie de l'électron et les spineurs sont obtenus. De plus, en utilisant diverses propriétés de symétrie du propagateur, nous l'avons représenté d'une manière qui nous permettait d'obtenir les spineurs propres sous forme normalisée. La limite non relativiste et la densité de courant sont également étudiées. Le quatrième chapitre a été consacré à la situation où il n’y en a pas de confinement. La technique utilisée était similaire à celle employée au premier chapitre. Nous avons réussi à déterminer le propagateur et à exprimer les spineurs propres à l’aide des fonctions du cylindre parabolique normalisées. Nous avons aussi calculé le taux de production des paires dans le vide sous forme d’une série dont les termes dépendent du champ électrique et de l'impulsion de l'oscillateur. In the second chapter, the propagator of a two-dimensional Dirac oscillator in the presence of a uniform electric field is derived by using the path integrals technique. The fact that the global named approach is used in this work redirects, beforehand, our search for the propagator of the Dirac equation to that of the propagator of its quadratic form. The internal motions relative to the spin are represented by two fermionic oscillators, which are described by Grassmannian variables, according to Schwinger's fermionic model. Once the integration over the anticommuting variables (Grassmannian variables) is accomplished, the problem becomes the one of find a non-relativistic propagator with only bosonic variables. The energy spectrum of the electron and the corresponding eigenspinors are also obtained in this work. In the third chapter, the propagator of a two-dimensional Dirac oscillator in the presence of a uniform electric field is derived by using the covariant supersymmetric path integrals technique according to the so-called global projection and the problem is solved exactly. The energy spectrum of the electron and the corresponding eigenspinors are obtained. Moreover, by using various symmetry properties of the propagator, we represented it in a way that allowed us to obtain the eigenspinors directly in normalized form. The nonrelativistic limit and the density of current are also studied. The fourth chapter was devoted to the situation where there is no confinement. The technique used was similar to that used in the second chapter. We were able to determine the propagator and to express the eigenspinors in term of parabolic cylinder functions. We have also calculated the rate of pair creation in a vacuum in the form of a series whose terms depend on the electric field and the angular frequency of the oscillator. في الفصل الثاني تم اشتقاق داله قرين لمهتز ديراك ثنائي البعد المكاني في وجود مجال كهربائي منتظم وذلك وفق تقنيه تكامل المسارات .بسبب استعمالنا للطريقة المسماة بالإسقاط الشامل، وجهنا بحثنا مبدئيا إلى داله قرين المتعلقة بمربع معادله ديراك عوض تلك المتعلقة بمعادله ديراك ذاتها .الحركة الداخلية المتعلقة بالسبين مثلت بهزازين فرميونيينن وصفا بواسطة متغيرات قراسمين وفقا للنموذج الفرميوني لشوينغر .عند إتمام التكامل وفق المتغيرات اللامتبادله ( متغيرات قراسمين)، المسألة تتحول إلى تلك الخاصة بالبحث عن داله قرين في الحالة اللانسبويه وفق متغيرات ذات طبيعة بوزونيه فقط .تم بعد ذلك حساب القيم الذاتية للطاقة و كذلك السبينورات الذاتية في هذا الفصل في الفصل الثالث تم اشتقاق المنتشر لنفس المسألة ولكن هاته المرة وفق تكامل المسارات فوق التناظري وذلك دائما باستعمال تقنيه الإسقاط الشامل حيث وفقنا في حلها .تم هنا أيضا حساب القيم الذاتية للطاقة و كذلك السبينورات الذاتية .علاوة على ذلك، من خلال استخدام خصائص التناظر المختلفة للناشر، قمنا بتمثيله بشكل سمح لنا بالحصول على السبينورات الذاتية مباشرة في شكل مقنن .كما تم في هذا الفصل دراسة الحالة اللانسبويه و كثافة التيار. تم تخصيص الفصل الرابع للحالة التي لا يوجد فيها حبس .كانت التقنية المستخدمة مماثلة لتلك المستخدمة في الفصل الثاني .كنا قادرين على تحديد داله قرين و صياغة السبينورات الذاتية بواسطة الدوال الاسطوانية المقعرة .لقد قمنا أيضا في هذا الفصل بحساب معدل تكوين الازواج في الفراغ و وجدناه على شكل سلسلة رياضيه متعلقة بقيمه المجال الكهربائي و التردد الزاوي لمهتز ديراك.